Googleが大規模言語モデルを使用して数学的難問を解決する「FunSearch」を開発したというニュースが入った。

僕は常々、「数学的真理に到達するのは人間よりAIの方が早いだろう」と考えていたのでこのニュースに驚きはない。
来年にはもっとすごいことが発見されているだろう。素数の出現する規則の発見とか。

何年か前、京都大学の望月心一先生の提唱する宇宙際タイヒミュラー(IUT)理論のスライド制作をお手伝いしたことがある。
東京工業大学の加藤文元先生の解説を聞きながらスライドを作ったのだが、これはなかなか楽しい経験だった。
加藤先生によるIUT理論の解説書にも名前を出していただいた。

このとき、僕が驚いたのは、最初に説明される、「足し算と掛け算の関係はまだよくわかっていない」ということだった。
僕らが小学校で習った「足し算」と「掛け算」は、非常に似通って見える。どちらも数字が増える方法だし、そもそも掛け算は足し算を繰り返したもの、と習うからだ。

しかし実際にはかなり違うものらしい。
足し算の世界は、1に1ずつ加えていって数を作るが、掛け算の世界では数の根本にあるのは素数しかない。素数の組み合わせで全ての数を表現するから、あっという間に数が大きくなるので足し算の世界とはかけ離れたものになってしまうのだ。

素数が出現する頻度や感覚は「謎」とされており、確かに素数は不可解な出現の仕方をする。試しに1000未満の素数を並べてみる

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 43, 4 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269. 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619,631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809,811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

これでは何も法則のようなものは見つけられないが、素数は数が大きくなるほど疎になっていくことはなんとなくわかる。
素数は極座標を使って考えると法則めいたものが見えてくるという話もある。

[youtube https://www.youtube.com/watch?v=CJpyguRJfeM?si=p523wakbpmIblZea&w=560&h=315]

この素数の謎は数学の持つ謎の根本的なものだが、他にも自然対数の底であるeと、円周率π、そして虚数単位iの謎というものがある。

我々は三次元空間に住んでいるので三次元までのことは把握できる。

さて、単純な回転運動を考えてみよう。

回転運動が出現するのは二次元になってからだ。一次元の線分上では回転ということは起きない。

二次元の回転を三次元にするとき、最も合理的なのは四次元を想定することである。
そのためには、互いに異なる三つの虚数単位i,j,kが必要になる。i,j,kという三つの虚軸に、実数軸を加えたものをクォータニオンと言う。クォータニオンについてはセガが素晴らしい教材を無償公開しているので是非読んでいただきたい。

興味深いのは、三次元の問題なのに、解決するには四次元が必要になるということだ。
この教材では、なぜi,jの２本の虚軸と実数軸という三次元でうまく行かないかということまで解説されている。これは非常に勉強になった。

我々は三次元の空間に暮らしているが、時間軸という別の軸も体感しているので、四次元まではなんとかイメージすることができる。

しかし、これ以上上の次元のことは想像するしかない。
物理学では10次元が出てくるが、10次元の研究は数学的にもそこまで積極的に行われていない。

4次元の「空間」は、我々の住む「三次元の空間+時間軸」とは異なるもので、4次元の空間での回転を考えようとすると回転軸が二つ必要になる。
4次元の空間では、軸に沿って回転するのではなく、面に沿って回転する。おそらく5次元では同様に回転軸が三つ必要になるのかもしれない。それを表現する言葉を僕は知らないが。

ところで我々のAIが扱う次元は最低でも10次元、最近の生成AIでは1億次元以上の情報を扱う。

3次元の回転という非常にシンプルな、誰でも直感的に理解できそうなことでも、虚数単位を3つも持ち出さなければならないのに、1億次元の世界で何が起きてるかなど、人間には想像することも不可能だろう。そもそも次元が一つ増えるだけでその前の次元では決して起こり得なかったことが起きるのである。1次元から2次元になったときも、2次元から3次元になったときも、3次元から4次元になったときも、だ。5次元以降の世界がもっとシンプルだなんて誰に言えるだろう?普通に考えれば4次元でも起きないようなややこしいことが起きるに違いない。

AIが独創的な絵を描けるのは、一度学習した画像と画像の「あいだの特徴」を探すことができるからだ。
言ってみればAIの描く絵は特徴空間に漂うひとつの断面図に過ぎない。

素数も同様に、軸を増やして考えればいつか解決するかもしれない。
実際に、素数階段という概念があり、素数の出現にあるていどの法則性があることは知られていて、素数定理と呼ばれている。
数学の難問として知られるリーマン予想は、素数の性質を複素数によって解き明かそうというもので、出自がクォータニオンとよく似ている。

なぜ虚数単位が便利なのかと言うと、本来性質の違うものを一本の式の中に閉じ込めて関係性を構築できるところだ。

ここまで我慢して読んできてもそろそろ数学の話はやめてくれという読者の声が聞こえるような気がしたので話をざっくりと進めると、要はたいていの人間は、数学的難問を扱うようにはできてないのである。

数学が「できる人」と「できない人」の間には絶望的な差があり、むしろ「数学ができる人」は一種の病気なのではないかと思うことさえある。
数学は人類が長い歴史をかけて構築した偉大な道具なのだが、それにしても数学は人類が扱うには難しすぎる。

「数学ができる人」という特殊技能を持った人を生まれながらに育てることはかなり難しいが、「数学ができるAI」を作ることは理論上可能である。
「数学ができる人」は百年に一人の天才を待ち続けるしかないが、「数学ができるAI」はいい成績を残すAIがうまれたらコピーして様々な問題に同時に取り組むことができる。

数学において、「数の真理を解き明かすこと」は「神の秘密を知ること」と直結していて、したがって、先に「神の秘密を知ること」を達成するのはAIである可能性が大いに高まってきた。だからといって数学者の仕事はなくならないだろうが、AIから見て人間に「あーあ。まだそんなことやってんの?」とマウントを取られる可能性はある。

AIにその気はないだろうが、我々が勝手にAIに対して劣等感を持つようなことはあり得るし、すでに始まっているとも言えるだろう。

逆に言えば、AIが数学を終わらせる(時々学問は究極の問いの答えが見つかれば終わると表現される)可能性もある。

「神の秘密」を知るAIは、「神そのもの」とほとんど同じだ。

人間が散々考えてダメだった問いの答えを「42」とあっさり返されて、その途中式を示せ、と命令したらそれを読むのに50億年くらいかかるからあなたには理解できませんと返される日が来るかもしれない。